Elipse

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Elementos de la elipse

Focos
Son los puntos fijos F y F'.

Eje focal
Es la recta que pasa por los focos.

Eje secundario
Es la mediatriz del segmento FF'.

Centro
Es el punto de intersección de los ejes.

Radios vectores
Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.

Distancia focal
Es el segmento F F' de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.

Vértices
Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.

Eje mayor
Es el segmento AA' de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.

Eje menor
Es el segmento BB' de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.

Ejes de simetría
Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.

Centro de simetría
Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.

Relación entre la distancia focal y los semiejes
a² = b² + c²

Excentricidad

Es un número que mide en mayor o menor achatamiento de la elipse. Y es igual al cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor.

e= c/a c ≤ a 0 ≤ e ≤ 1

Ecuación reducida de la elipse

Si el eje principal está en el de abscisas se obtendrá la siguiente ecuación:
x²/a² + y²b² = 1

Las coordenadas de los focos son:
F'(-C,0) y F(C,0)

Elipse con los focos en el eje OY

Si el eje principal está en el de ordenadas se obtendrá la siguiente ecuación:
y²/a² + x²b² = 1

Las coordenadas de los focos son:
F'(0, -C) y F(o, C)

Elipse con eje paralelos a OX y centro distinto al origen

Si el centro de la elipse C(Xo,Yo) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas

F(Xo + C, Yo) y F'(Xo - C, Yo).

Y la ecuación de la elipse será:

(X-Xo)²/a² + (Y-Yo)²/b² = 1

Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

AX² + BY² + CX +DY + E = 0

Donde A y B tienen el mismo signo.

Elipse con eje paralelo a OY y centro distinto al origen

Si el centro de la elipse C(Xo,Yo) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas
F(Xo, y + C) y F'(Xo, Yo - C).

Y la ecuación de la elipse será:

(Y-Yo)²/a² + (X-Xo)²/b² = 1

Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

AX² + BY² + CX +DY + E = 0

Donde A y B tienen el mismo signo