En la vida

"Hay tres grupos de personas: los que hacen que las cosas pasen; los que miran las cosas que pasan y los que se preguntan qué pasó." - (Nicholas Murray Butler)

Por que

"El hombre inteligente no es el que tiene muchas ideas, sino el que sabe sacar provecho de las pocas que tiene." (Anónimo)

Por eso

"Una persona usualmente se convierte en aquello que el cree que es. Si yo sigo diciéndome a mi mismo que no puedo hacer algo, es posible que yo termine siendo incapaz de hacerlo. Por el contrario si yo tengo la creencia que sí puedo hacerlo, con seguridad yo adquiriré la capacidad de realizarlo aunque no la haya tenido al principio. (Gandhi)

Lo que se tiene que hacer es

"No esperar por el momento preciso. Empieza ahora. Hazlo ahora. Si esperas por el momento adecuado, nunca dejarás de esperar. " (Jasmine Gillman)

Datos Personales

Nombre:
Gerardo Suárez De la vega

Ocupación:
Facilitador de Equipos de Trabajo

Pasatiempo:
Disfrutar y vivir todas las oportunidades de la vida

Razones para estudiar:
La superación social - económica y aprovechar la oportunidad de aprender

Metas en la vida:
Conocer la Cultura Maya.

SAETI Matemáticas

La geometría rama de la matemática que estudia idealizaciones del espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc.

Se utiliza para solucionar problemas concretos y es la justificación teórica de muchos instrumentos, por ejemplo el compás, el teodolito y el pantógrafo.

Así mismo, da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global y es útil en la preparación de diseños.

Área de un triangulo en el plano cartesiano

A = ½ [X3(Y1 – Y2) + X1(Y2 - Y3) + X2(Y3 – Y1)]

Puntos A = (-4,-2) B = ( 3, 2) C = (-6,-5)

A = ½ [ -6(-2 – 2) + -4(2 – (-5)) + 3(-5 – (-2)]

A = ½ [ -6(-4) + -4(7) + 3(-3)]

A = ½ [ 24 -28 -9]

A = ½ [ -13 ]

A = -13/2

A = 6.5

El triángulo es un polígono

Triángulo es una porción de plano limitada por tres rectas que se cortan dos a dos.

Elementos:

1) Vértices: Son los puntos de intersección A, B, C, de las rectas que forman el triángulo ABC.

2) Lados: Son los segmentos AB, BC, AC, ó a, b, c, limitados por dos lados y el vértice común

3) Ángulos interiores: Son los ángulos A, B, C, formados por dos lados y el vértice común.

4) Ángulos exteriores: Son los ángulos 180° - A, 180° - B, 180° - C, formados por un lado, un vértice y la prolongación del lado adyacente.

Notación: Un triángulo se denota así: ABC y se lee "triángulo ABC"

Perímetro: De un triángulo está dado por la suma de sus tres lados.
P = AB + BC + AC

Clasificación de Triángulos

Se clasifican así: atendiendo a sus lados y a sus ángulos.

1) Atendiendo a sus lados, son:

a) Equiláteros: Son los que tienen sus 3 lados iguales.
b) Isósceles: Son los que tienen dos lados iguales.
c) Escaleno: Son los que sus 3 lados desiguales.

2) Atendiendo a sus ángulos, son:

a) Rectángulos: Son los que tienen un ángulo recto (90°).
b) Acutángulos: Son los que tienen sus 3 ángulos agudos.
c) Obtusángulos: Son los que tienen un ángulo obtuso.

Teoremas elementales de los Triángulos

1.- La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es 180°.

2.- Todo ángulo exterior de un triángulo, es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes.

3.- La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es 360°

4.- En todo triángulo isósceles, a lados iguales se oponen ángulos iguales.

5.- En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo.

6.- En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos pero mayor que su diferencia.

Líneas Notables en un Triángulo

Altura "h": Es la recta perpendicular (AH) trazada desde un vértice al lado opuesto.

Bisectriz: Es la recta que parte de un vértice y que divide al ángulo interior en dos ángulos iguales.

Mediana: Es la recta (AM) que une el vértice con el punto medio del lado opuesto.

Mediatriz: Es la recta (MF) perpendicular a un lado, trazada desde su punto medio M.

Ceviana: Es la recta (AQ) que une un vértice con cualquier punto del lado opuesto.

Propiedades de ángulos con las líneas notables de un Triángulo

1.- El ángulo formado por dos bisectrices interiores es igual a un ángulo recto más la mitad del tercer ángulo.

2.- El ángulo formado por dos bisectrices exteriores es igual a un ángulo recto menos la mitad del tercer ángulo.

3.- El ángulo formado por dos bisectrices, una interior y la otra exterior de ángulos distintos de un mismo triángulo, es igual a la mitad del tercer ángulo.

4.- El ángulo formado por una altura y una bisectriz interior de un triángulo trazados desde un mismo vértice es igual a la semidiferencia de los otros dos ángulos.

Ecuación de la Elipse

Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que las sumas de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre los dos puntos.

Los dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.

Los elementos de una elipse son los que se describen en la figura siguiente:

F y F’, focos.
V y V’, vértices
C, centro.
d(V, V’), eje mayor.
CF, lado recto.
d(A, A’) eje menor.
L’, eje normal.
L, eje focal.

Es importante observar que F, F’, C, V y V’ tienen una coordenada en común y que la distancia de F a V es igual a la distancia de F’ a V’ y que C es el punto medio de los focos y vértices.

Teorema:

La ecuación de una elipse con C(h, k) y eje focal paralelo al eje X esta dada por: (x - h)² / a² + (y - k)² / b² = 1, y paralela al eje Y es: (x - h)² / b² + (y - k)² / a² = 1.

En donde para cada elipse, a es la longitud del semieje mayor, b es la del semieje menor, c es la distancia del centro hacia cada foco y a, b, c están ligadas por la siguiente relación: a² = b² + c².

También para cada elipse, la longitud de cada uno de sus lados rectos es: 2b² / a y la excentricidad e = c / a.

Elipse

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Elementos de la elipse

Focos
Son los puntos fijos F y F'.

Eje focal
Es la recta que pasa por los focos.

Eje secundario
Es la mediatriz del segmento FF'.

Centro
Es el punto de intersección de los ejes.

Radios vectores
Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.

Distancia focal
Es el segmento F F' de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.

Vértices
Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.

Eje mayor
Es el segmento AA' de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.

Eje menor
Es el segmento BB' de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.

Ejes de simetría
Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.

Centro de simetría
Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.

Relación entre la distancia focal y los semiejes
a² = b² + c²

Excentricidad

Es un número que mide en mayor o menor achatamiento de la elipse. Y es igual al cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor.

e= c/a c ≤ a 0 ≤ e ≤ 1

Ecuación reducida de la elipse

Si el eje principal está en el de abscisas se obtendrá la siguiente ecuación:
x²/a² + y²b² = 1

Las coordenadas de los focos son:
F'(-C,0) y F(C,0)

Elipse con los focos en el eje OY

Si el eje principal está en el de ordenadas se obtendrá la siguiente ecuación:
y²/a² + x²b² = 1

Las coordenadas de los focos son:
F'(0, -C) y F(o, C)

Elipse con eje paralelos a OX y centro distinto al origen

Si el centro de la elipse C(Xo,Yo) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas

F(Xo + C, Yo) y F'(Xo - C, Yo).

Y la ecuación de la elipse será:

(X-Xo)²/a² + (Y-Yo)²/b² = 1

Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

AX² + BY² + CX +DY + E = 0

Donde A y B tienen el mismo signo.

Elipse con eje paralelo a OY y centro distinto al origen

Si el centro de la elipse C(Xo,Yo) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas
F(Xo, y + C) y F'(Xo, Yo - C).

Y la ecuación de la elipse será:

(Y-Yo)²/a² + (X-Xo)²/b² = 1

Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

AX² + BY² + CX +DY + E = 0

Donde A y B tienen el mismo signo

Circunferencia Conceptos

Es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.

Elementos de la circunferencia

Centro
Punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.

Radio
Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.

Cuerda
Segmento que une dos puntos de la circunferencia.

Diámetro
Cuerda que pasa por el centro.

Arco
Cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Se suele asociar a cada cuerda el menor arco que delimita.

Semicircunferencia
Cada uno de los arcos iguales que abarca un diámetro.

Círculo

Es la figura plana comprendida en el interior de una circunferencia.

Elementos de un círculo

Segmento circular
Porción de círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente.

Semicírculo
Porción del círculo limitada por un diámetro y el arco correspondiente. Equivale a la mitad del círculo.

Zona circular
Porción de círculo limitada por dos cuerdas.

Sector circular
Porción de círculo limitada por dos radios.

Corona circular
Porción de círculo limitada por dos círculos concéntricos.

Trapecio circular
Porción de círculo limitada por dos radios y una corona circular.

Posiciones relativas de un punto respecto a una circunferencia

· Interior
· Punto sobre la circunferencia.
· Punto exterior a la circunferencia

Posiciones relativas de una recta y una circunferencia

· Recta secante
· Recta tangente
· Recta exterior

Posiciones relativas de dos circunferencias

Ningún punto en común
· Exteriores
· Interiores
· Concéntricas

Un punto común
· Tangentes exteriores
· Tangentes interiores

Dos puntos en común
· Secantes

Ángulos en la circunferencia

Ángulo central
La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.

Ángulo inscrito
Mide la mitad del arco que abarca.

Ángulo semiinscrito
Mide la mitad del arco que abarca.

Ángulo interior
Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.

Ángulo exterior
Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia.

Áreas

Longitud de una circunferencia
L = 2 . П . r

Longitud de un arco de circunferencia
L = (2 . П . r . ά) / 360º

Área de un círculo
A= П . r²

Área de un sector circular
A= (П . r² . ά) / 360º

Área de una corona circular
A= П (R² - r²)

Área de un trapecio circular
A= (П . (R² - r²) . ά) / 360º

Área de un segmento circular

Área del segmento circular AB = Área del sector circular AOB − Área del triángulo AOB

Ecuación de la Circunferencia

Definición: Es el lugar geométrico de los puntos del plano, tales que su distancia a un punto fijo, llamado centro, es constante. A esta distancia se le denomina radio de la circunferencia.

Sea C (a, b) el centro de la circunferencia, r el radio y P(x,y) un punto de la misma.

d(C,P)=r Ö(x-a)² + (y-2)²=r

elevando al cuadrado los dos miembros de la ecuación obtenemos:

(x-a)² + (y-2)²=r²

que es la ecuación de la circunferencia, conocidos su centro y radio.

Desarrollando la ecuación reducida:

x2 - 2ax + a2 + y2 - 2by + b2 = r2

y pasando al primer término , obtenemos:

x2 + y2 - 2 ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0.

Si llamamos A = - 2 a ; B = - 2 b y C = a2 + b2 - r2,

la ecuación de la circunferencia, en su forma general sería:

x² + y² + Ax + By + C = 0

Circunferencia

Circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano; el punto fijo se llama centro y la distancia constante radio.

La circunferencia cuyo centro es (h, k) y de radio r tiene por ecuación:
(x - h)² + (y - k)² = r² y recibe el nombre de ecuación en forma ordinaria.

Forma general de la ecuación de una circunferencia.

Dada la forma ordinaria (x - h)² + (y - k)² = r² desarrollamos los cuadrados y tenemos:

X² – 2hx + h2 + y² – 2ky + k² = r²; agrupando términos:

X² + y² + (-2h)x + (-2k)y + (h² + k² – r²) = 0; por último tenemos:

D E F

X² + y² + Dx +Ey + F = 0 que es la forma general que buscábamos.

De aquí deducimos que cualquier ecuación en forma ordinaria puede transformarse mediante operaciones correctas a la forma general.

Ecuación general de la línea recta

AX + BY + C = 0

Y–Y1 = (Y2-Y1/X2-X1) . (X-X1)

P1( 0,032)
P2(100,212)

y-32 = (212-032/100-0) . (x-0)

y-32 = (180/100) . (x-0)

y-32 = (9/5) . (x-0)

y-32 = (9/5) . x

(5) y-32 = 9x

5y-160 = 9x

-9x+5y-160 = 0 (-1)

9x-5y+160 = 0

Ecuación general o implícita de una recta

La ecuación de la recta también la podemos expresar con todos los términos en lado izquierdo de la ecuación, igualados a cero. Es lo que se denomina:

Ecuación general o implícita de la recta: AX + BY + C = 0

Partiendo de la ecuación continua la recta

X-X1 / V1 = Y-Y1 / V2

Y quitando denominadores se obtiene:

(X-X1) V2 = (Y-Y1) V1

V2X – V2X1 = V1Y – V1Y1

Trasponiendo términos:

V2X – V1Y + VIY1 – V2X1

Haciendo

A= V2 B= -V1 C= VIY1 – V2X1

Se obtiene

AX + BY + C = 0

Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implicita de la recta. De esta forma se acostumbra a dar la respuesta cuando se pide la ecuación de una recta.

Las componentes del vector director son:

V = ( -B, A )

La pendiente de la recta es:

m= -(A/B)

Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como vector director igual (-2, 1).

X-1 / -2 = Y – 5 / 1 X – 1 = -2Y + 10

Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=-2.

Y – 5 = -2(X-1) Y – 5 = -2X + 2 2X + Y – 7 = 0

Formula del punto medio

Si las coordenadas de A y B son (x1, y1) y (x2,y2) respectivamente, entonces el punto medio M del segmento AB tiene las coordenadas (x1 + x2/ 2, y1 + y2/ 2).

xm=x2+x1 / 2
ym=y2+y1 / 2

P1=( 3, 5)
P2=(-2,-4)

xm=(-2+ 3)/2 xm=1/2 xm=.5
ym=(-4+ 5)/2 ym=1/2 xm=.5

Ángulo de inclinación

Sea l una recta no paralela al eje x y que lo intersecta en el punto A.

La dirección de la recta en relación con los ejes coordenados puede indicarse si se conoce el ángulo q< 180° que se obtiene al girar la semirrecta AX en el sentido contrario a las manecillas del reloj hasta coincidir con la recta l. Por lo tanto, este ángulo (q) se denomina inclinación de la recta l.

De la recta que pasa por los puntos (-3,2) y (7-6)?

Para calcular el ángulo de inclinación es necesario antes sacar la pendiente; pues la fórmula del "ángulo de inclinación" es la siguiente:

Tan(ángulo de inclinación)= m
donde "m" es la pendiente igualada a la tangente del ángulo de inclinación

Sustituimos la formula anterior por nuestro valor obtenido de pendiente. Así:
Tan (ángulo de inclinación)= -0.8

Despejamos "ángulo de inclinación", pasando la tangente al lado derecho de la ecuación (en forma de tangente inversa).

Así:

Ángulo de Inclinación= Tan^-1 (-0.8)
(Tan^-1 significa tangente inversa)

Para resolver la tangente inversa de -0.8, necesitaremos de una calculadora científica pues es la única forma de resolver tangentes inversas. Usando una, se obtiene que:

Ángulo de Inclinación= Tan^-1(-0.8)= 38.65°

Pendiente de una recta

Se denomina pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación.

La notación de pendiente es por la letra m y de acuerdo con la definición, se expresa por m=tg q.

El ángulo (q) de inclinación de la recta puede tomar cualquier valor entre 0° £ q £ 180°, por lo que los siguientes criterios facilitan la comprensión del comportamiento de la pendiente en el sistema de coordenadas rectangulares:

a) m es un numero positivo, si 0° < q < 90° .
b) m es un número negativo, si 90° < q < 180° .
c) m =0, si q =0° .
d) m = ¥ , si = 90°.

La pendiente se define matemáticamente por el siguiente: Teorema

Sean P1 (x1,y1) y P2 (x2,y2) dos puntos diferentes cualesquiera de una recta, la pendiente de dicha recta es:

m= y1 – y2 / x1 –x2
P1 (punto 1)= (-3,2)
P2 (punto 2)= (7,-6)

Para encontrar la pendiente, aplicamos la siguiente fórmula:

m =(y2-y1)/(x2-x1)

de donde "m" es la pendiente,

"y1" y "x1" son las coordenadas (x,y) del primer punto
"y2" y "x2" son las coordenadas (x,y) del segundo punto

Nosotros ya tenemos las coordenadas (x,y) de un primer punto y de un segundo punto; las cuales definimos al principio. Sólo basta, con sustituir la fórmula anterior por dichos puntos, quedando de la siguiente forma:

m= (-6-2)/ [7-(-3)]

Ahora resolvemos, como sigue:

m= -8/[7+3]
m= -8/10

Simplificamos por mitad fraccionaria:
m= -4/5 [resultado en fracción]
m= -0.8 [resultado en decimales]

La pendiente de una recta que pasa por los puntos (-3,2) y (7,-6) es de -4/5 [menos cuatro quintos] o lo que es lo mismo -0.8 [ocho décimos negativos]

Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que se forma con los puntos A(-6,-4) y B(8,3).

Solución

Al graficar los puntos dados, tenemos:
Al sustituir los datos en la fórmula de la pendiente, resulta:
m= y1 – y2 -4 -3 -7
x1 –x2 -6 –8 -14

Donde m=1/2

Para determinar el ángulo de inclinación, utilizamos la ecuación:

q=arc tg m
q=arc tg (1/2)= arc tg(0.5)
q=26°33’ 54’’

Como la m es positiva, el ángulo q es mayor de 0° pero menor que 90°

Pendiente de una Recta

En la ecuación principal de la recta y = mx + n, el valor de m corresponde a la pendiente de la recta y n es el coeficiente de posición.

La pendiente permite obtener el grado de inclinación que tiene una recta, mientras que el coeficiente de posición señala el punto en que la recta interceptará al eje de las ordenadas.

Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo que indica que interceptará al eje y en el punto (0,7).

Cuando se tienen dos puntos cualesquiera (x1,y1) y (x2,y2), la pendiente queda determinada por el cuociente entre la diferencia de las ordenadas de dos puntos de ella y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea

m= y2-y1 / x2-x1

Una recta que es paralela al eje x, tiene pendiente 0.

En la ecuación general de la recta, la pendiente y el coeficiente de posición quedan determinados por:

m= -A / B
n= -C / B

Demostrémoslo: Transformemos la ecuación general de la recta en una ecuación principal.

Ax + By + C = 0
Ax + By = -C
By = -Ax – C

y= -AX-C / B
Y= -A/B X – C/B

Donde se demuestran los valores de m y n antes dado.
Ej: ¿Cuál es la pendiente y el coeficiente de posición de la recta 4x - 6y + 3 = 0?

m = -4 /-6 = 2/3
n = -3 /-6 = 1/2

Distancia entre dos puntos

De acuerdo a la geometría plana se dice que: dos puntos definen una recta y que la distancia más corta entre dos puntos es una línea recta.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.

Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de pitágoras

Cuadrantes

Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes llamados "Cuadrantes". Tenemos así, el primero (I), segundo (II), tercero (III) y cuarto (IV) cuadrante. Observa que los cuadrantes se definen en sentido contrario a las agujas del reloj.

El eje de las abscisas en el Sistema de Coordenadas Cartesianas es semejante a la recta real. A la derecha del origen se representan los números positivos mientras que a la izquierda del origen se representan los números negativos. De manera similar los puntos que están por arriba del origen el eje de las ordenadas representan los números positivos, mientras que los puntos que están por debajo del origen sobre el eje de las ordenadas representan los números negativos.

(-, +) (+, +)
(-, -) (+, -)

Observa que:
a. En el primer cuadrante (I) están todos los puntos de coordenadas (x, y), tales que:
x > 0 (abscisa positiva)
y > 0 (ordenada positiva
b. En el segundo cuadrante (II) están todos los puntos de coordenadas (x, y) tales que:
x < 0 (abscisa negativa)
x > 0 (ordenada positiva)
c. En el tercer cuadrante (III) están todos los puntos de coordenadas (x, y) tales que:
x < 0 (abscisa negativa)
x < 0 (ordenada negativa)
d. En el cuarto cuadrante (IV) están todos los puntos de las coordenadas (x, y) tales que:
x > 0 (abscisa positiva)
y < 0 (ordenada negativa)

Además;
Todo punto de eje horizontal x tiene ordenada nula. Es de la forma (x, 0)
Todo punto de eje vertical tiene abscisas nula. Es de la forma (0, y).

Los resultados anteriores podemos resumirlos en el siguiente cuadro:

Ejemplo:
a. ¿Cuáles son las coordenadas de un punto que está a 4 unidades a la izquierda del eje "y" y a 3 unidades por encima del eje "x"?

Solución:
La abscisa es – 4 y la ordenada es 3, por lo tanto, las coordenadas del punto son (-4, 3)

b. Dibujar los puntos (1, -5), (3, 4), (-2, 0), (5, -1), (0, -3), (-2, -4) e indicar en qué cuadrante o eje se encuentran.

Solución:
Los puntos se presentan en la figura:
(1, -5) está en el IV Cuadrante
(3, 4) está en el I Cuadrante
(-2, 0) está en el eje x
(5, -1) está en el IV Cuadrante
(0, -3) está en el eje y
(-2, -4) está en el III Cuadrante

Puntos notables en el sistema de coordenadas cartesianas

a. Coordenadas de origen: el punto 0, origen del Sistema de Coordenadas Cartesianas, tiene abscisa cero y ordenada cero y por tanto, puede escribirse como P(0, 0).

b. Coordenadas de un punto situado sobre el eje de las abscisas: cualquier punto situado sobre el eje x tiene como ordenada cero y por tanto puede escribirse como P(x, 0)

c. Coordenadas de un punto situado sobre el eje de las ordenadas: Cualquier punto situado sobre el eje y tiene como abscisa cero y por tanto puede escribirse como P(0, y)

Coordenadas de un punto

¿Cómo podemos establecer con precisión la ubicación de P en el Plano?

Una forma es asociar cada punto con un par ordenado (a, b), donde la primera componente, a, está relacionada con el eje x, y se le denomina abscisa del punto, mientras que la segunda componente, b, se relaciona con el eje y, y se le denomina ordenada del punto.

La abscisa y la ordenada corresponden a las coordenadas del punto y pueden tener un valor positivo o negativo.
De lo dicho anteriormente, puede deducirse lo siguiente:

1. A cada punto P del Plano Real, le corresponde un par ordenado.
2. Dado un par ordenado (a, b) en el plano real, existe sólo un punto con esas coordenadas.
Al punto P se le puede representar simbólicamente como P(x, y), donde "x" y "y" son las abscisas y la ordenada de P.

Así, por ejemplo, podemos escribir:
P(3, 4)
Abscisa = 3 P(-3, 4) Abscisa = -3
Ordenada = 4 Ordenada = 4
P(-3, -4)
Abscisa = -3 P(3, -4) Abscisa = 3
Ordenada = -4 Ordenada = - 4

Ejemplo de ubicación de puntos en el Plano.

Determina la ubicación en el Plano Cartesiano de los siguientes puntos:
P1(-3, 2) P2(2, 3)